KADD 2021 Laboratorium 7 zdalne

{| align="right"
| __TOC__
|}

{| align="right"
| __TOC__
|}



== Zadanie ==
'Część pierwsza'': '''obliczanie liczby Pi''' (1 pkt.)

Należy napisać '''funkcję''', która oblicza liczbę Pi '''metodą von Neumanna''' (jest to bodajże najprostszy przykład wykorzystania metody typu '''Monte Carlo'''). W tym celu losujemy z rozkładu jednorodnego na przedziale [0,1] dwie liczby x i y, i sprawdzamy, czy wylosowana para mieści się wewnątrz koła o promieniu 1. Następnie używając stosunku par zaakceptowanych (mieszczących się wewnątrz) do odrzuconych (tych, które leżą poza okręgiem) oraz wzoru na pole koła, należy obliczyć liczbę Pi. Ponadto, należy narysować wykres trafień leżących wewnątrz oraz na zewnątrz koła:
* stworzyć dwa obiekty typu <code>TGraph</code> i jeden z nich wypełniać zaakceptowanymi parami (x,y), drugi zaś odrzuconymi. Oba wykresy narysować na jednym panelu,
* dodatkowo można stworzyć obiekt <code>TH1D</code> i wypełnić go zaakceptowanymi wartościami x. Będzie dany rozkładem wyznaczonym ze wzoru na pole koła.

''Część druga'': '''generowanie liczb pseudolosowych z dowolnego rozkładu metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna''' (3 pkt.)

Wykorzystana tydzień temu metoda transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem funkcji odwrotnej do dystrybuanty ma ograniczone zastosowanie. Jej zastosowanie jest możliwe tylko wtedy, gdy znana jest jawna postać dystrybuanty oraz można znaleźć funkcję do niej odwrotną. '''Metoda von Neumanna''' pozwala wygenerowanie liczb pseudolosowych, gdy znany jest tylko rozkład g(y). W ogólności metoda działa nawet wtedy, gdy funkcja g(y) ''nie jest'' rozkładem gęstości prawdopodobieństwa (całka z niej nie wynosi 1). Pozwala to na bardzo szerokie wykorzystanie metody von Neumanna - przede wszystkim do obliczania całek oznaczonych ze skomplikowanych funkcji, gdy ich analityczne scałkowanie jest niemożliwe. Metody tego typu noszą nazwę wspomnianych wcześniej '''metod Monte Carlo'''.

Należy stworzyć trzy '''bardzo podobne''' funkcje przyjmujące obiekt typu <code>TF1</code>. Powinny one przyjmować funkcję g na przedziale [min,max]:
* <code>double losujVonNeumann(TF1 *g, double min, double max)</code> - funkcja zwraca ''jedną'' liczbę pseudolosową z funkcji g(y),
* <code>double wydajnoscVonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - funkcja zwraca wydajność metody akceptacji i odrzucania von Neumanna dla danej funkcji g(y) oraz zadanej liczby losowań n,
* <code>double calkaVonNeumann(TF1 *g, double min, double max, int n)</code> - funkcja zwraca całkę oznaczoną (pole powierzchni pod krzywą) z funkcji g(y) na przedzialne [min,max] przy liczbie losowań n.

''Część trzecia:'' '''metoda akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą''' (1 pkt.)

W celu zwiększenia wydajności metody von Neumanna, można posłużyć się ograniczeniem przedziału losowania w postacji zadanej funkcji pomocniczej. W tej części zaimplementować funkcję, która oblicza całkę z funkcji g(y) metodą akceptacji i odrzucania von Neumanna z funkcją pomocniczą s(y):
* <code>double calkaVonNeumannZPomoc(TF1 *g, TF1 *s, double min, double max, int n, double &wydajnosc)</code> - zwraca całkę na przedziale [min,max] oraz dla zadanej liczby losowań n. Ponadto, funkcja powinna zwrócić '''przez referencję''' (ponieważ w języku C/C++ funkcja nie może zwrócić dwóch wartości) wydajność tej metody.

Funkcję s(y) dobieramy tak, by '''zawsze''' znajdowała się powyżej funkcji g(y) i można z niej było łatwo wygenerować liczbę pseudolosową (na przykład metodą transformacji rozkładu jednorodnego z wykorzystaniem odwrotności dystrybuanty; na wykładzie przykład z funkcją liniową).

Wszystkie obliczenia należy wykonać dla funkcji typu:
[[File:Lab07_funkcja2.png]]

== Uwagi ==
* Czytamy dokładnie '''Wykład 5''' [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad5-2019.pdf link] slajdy 9-19
* Do generowania liczb z rozkładu jednorodnego używamy funkcji <code>Uniform</code> z klasy <code>TRandom</code> lub '''generatora napisanego w poprzednim zadaniu'''
* Pamiętajmy, że zawsze akceptujemy wylosowane punkty pod zadaną krzywą w stosunku do wszystkich wylosowanych (stosunek ten ma się do siebie (dla N dążących do nieskończoności) jak stosunki powierzchni obszarów wewnątrz których zostało dokonane losowanie)
* '''Jako funkcję pomocniczą przyjmujemy funkcję liniową.'''
* W przypadku całkowania z wykorzystaniem funkcji pomocniczej zawsze dobieramy ją w taki sposób, aby można było wygenerować liczbę z jej rozkładu w łatwy sposób (za pomocą odwracania dystrybuanty) - innymi słowy, zamieniamy prostokąt (dwa rozkłady jednorodne) na inny obszar, wewnatrz którego dokonujemy losowań (musimy umieć wylosować liczby z tego obszaru)

* Funkcja kwadratowa i jej odwrotność:

[[File:Odwracanie_kwadratowej.png]]
* [http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_Monte_Carlo Metoda Monte Carlo] - Wikipedia.
* [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/Wyklad5-2016.pdf Wykład 5]

== Wynik ==
''Część pierwsza''

[[File:lab07_kolo2.png]]

Output:
  Liczba Pi wynosi: 3.14392

''Części druga i trzecia''

[[File:Lab07_dist.png]]

Output:
 Calka: 0.199
 Wydajnosc: 0.2072
 Calka (metoda z funkcja pomocnicza): 0.198745
 Wydajnosc (metoda z funkcja pomocnicza): 0.39749
 Calka liczona metoda  Integral: 0.198652