KADD 2017 Zadanie 11

== Zadanie ==
'''Metoda najmniejszych kwadratów''' (5 pkt.)

Korzystając z metody najmniejszych kwadratów, dopasować do otrzymanych danych wielomiany stopnia <code>n=0..5</code>.

* Proszę wczytać dane z [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab11/dane.dat pliku]. Pochodzą one z eksperymentu zderzeń sprężystych ujemnie naładowanych mezonów K z protonami, przy ustalonej energii mezonu K. W pierwszej kolumnie znajdują się wartości cosinusa kąta rozpraszania w układzie środka masy, a w drugiej kolumnie odpowiadające im liczby zderzeń. Jako błędy pomiarów należy przyjąć pierwiastek kwadratowy z liczby obserwacji. Jeżeli otrzymany rozkład  ma postać wielomianu, to wyznaczenie jego stopnia umożliwia wyznaczenie spinowych liczb kwantowych występujących stanów pośrednich ("Analiza danych", S.Brandt, Przykład 9.2.).

* Proszę zaimplementować funkcję realizującą procedurę dopasowania metodą najmniejszych kwadratów. W tym celu należy wykorzystać wzory (ich wyprowadzenie znajduje się w [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2017/Wyklad12-2017.pdf wykładzie 12] oraz w [http://www.if.pw.edu.pl/~majanik/files/wiel.ps instrukcji]):

[[File:wzor1_new_asd.png]]

[[File:wzor2.png]]

[[File:wzor3.png]]

[[File:wzor4.png]]

[[File:wzor567.png]]

[[File:wzor89.png]]

''Komentarz'': szukamy minimum funkcji M (odpowiednik statystyki chi-kwadrat), wartości <code>t_{j}</code> to cosinusy kąta rozproszenia (pierwsza kolumna pliku), wartości <code>y_{j}</code> to liczby obserwacji (druga kolumna). Estymatory <code>x</code> to poszukiwane współczynniki wielomianu.

Przykładowy nagłówek funkcji:
 // Funkcja zwraca wartosc funkcji M
 // parametry:
 //  st - stopien dopasowanego wielomianu
 //  n - liczba pomiarow
 //  tj - tablica cosinusow kata rozproszenia
 //  yj - wyniki pomiarow
 //  sigmaj - bledy pomiarow
 //  wsp - tablica do ktorej nalezy wpisac wartosci wyznaczonych wspolczynnikow ([[File:wzor10.png]])
 //  bswp - tablica do ktorej nalezy wpisac bledy wyznaczonych wspolczynnikow (pierwiastki kwadratowe z elementów diagonalnych macierzy  [[File:wzor11.png]])
 double dopasuj (int st, int n, double *tj, double *yj, double *sigmaj, double *wsp, double *bwsp);

Do zaimplementowania powyższych wzorów wygodnie jest skorzystać z klasy [http://www.slac.stanford.edu/comp/unix/package/cernroot/30106/TMatrixD.html TMatrixD]. Przykłady jej użycia:

 // utworzenie macierzy o wymiarach n x m
 TMatrixD *macierzA = new TMatrixD(n,m);

 // dostep do elementu o indeksach i,j macierzy macierzA, np.:
 (*macierzA)(i,j) = 1;

 // mnozenie macierzy: macierzA = macierzB macierzC
 TMatrixD *macierzA = new TMatrixD(*macierzB, TMatrix::kMult, *macierzC);

 // transponowanie macierzy
 TMatrixD *macierzAt = new TMatrixD(TMatrix::kTransposed,*macierzA);

 // odwracanie macierzy
 macierz->Invert();

* Proszę zinterpretować otrzymane dopasowania przeprowadzając test chi-kwadrat (korzystając z wyznaczonej wartości funkcji M). Należy określić stopień wielomianu, dla którego dopasowanie jest najlepsze oraz wyznaczyć najmniejszy stopień wielomianu, którego nie możemy odrzucić. Proszę wypisać wartości wyznaczonych współczynników wielomianu.

== Wynik ==

[[File:mnk_2.png]]

 Output:

  Dopasowanie wielomianem stopnia 0
  M = 833.548
  x0 = 57.8452 +- 2.4051
  Liczba stopni swobody=9
  Kwantyl=21.666
  Poziom istotnosci=0.01
  Stopien 0: odrzucamy

  Dopasowanie wielomianem stopnia 1
  M = 585.449
  x0 = 82.6551 +- 2.87498
  x1 = 99.0998 +- 6.29159
  Liczba stopni swobody=8
  Kwantyl=20.0902
  Poziom istotnosci=0.01
  Stopien 1: odrzucamy

  Dopasowanie wielomianem stopnia 2
  M = 36.4096
  x0 = 47.267 +- 3.24753
  x1 = 185.955 +- 7.30235
  x2 = 273.612 +- 11.6771
  Liczba stopni swobody=7
  Kwantyl=18.4753
  Poziom istotnosci=0.01
  Stopien 2: odrzucamy

  Dopasowanie wielomianem stopnia 3
  M = 2.84989
  x0 = 37.949 +- 3.62403
  x1 = 126.546 +- 12.5894
  x2 = 312.018 +- 13.4278
  x3 = 137.585 +- 23.7499
  Liczba stopni swobody=6
  Kwantyl=16.8119
  Poziom istotnosci=0.01
  Stopien 3: akceptujemy

  Dopasowanie wielomianem stopnia 4
  M = 1.68602
  x0 = 39.6179 +- 3.94036
  x1 = 119.102 +- 14.3563
  x2 = 276.49 +- 35.5643
  x3 = 151.91 +- 27.2096
  x4 = 52.5999 +- 48.7566
  Liczba stopni swobody=5
  Kwantyl=15.0863
  Poziom istotnosci=0.01
  Stopien 4: akceptujemy

  Dopasowanie wielomianem stopnia 5
  M = 1.66265
  x0 = 39.8786 +- 4.29351
  x1 = 121.384 +- 20.7054
  x2 = 273.188 +- 41.6103
  x3 = 136.571 +- 103.954
  x4 = 56.8995 +- 56.2858
  x5 = 16.7294 +- 109.424
  Liczba stopni swobody=4
  Kwantyl=13.2767
  Poziom istotnosci=0.01
  Stopien 5: akceptujemy