KADD 2021 Laboratorium 10 zdalne

== Zadanie ==
'''Weryfikacja hipotez statystycznych''' (5 pkt.)

* Przeprowadzono eksperyment naświetlania wodorowej komory pęcherzykowej wiązką fotonów w celu  badania oddziaływań fotonów z protonami. Fotony powodują powstawanie par elektron-pozyton, które mogą być wykorzystane do monitorowania wiązki fotonów. Częstość występowania zdjęć z 0,1,2,... parami elektron-pozyton powinna podlegać rozkładowi Poissona. Należy wczytać dane z [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2016/lab10/dane10.txt pliku] (w pierwszej kolumnie znajduje się liczba par elektronowych na zdjęciu <code>k</code>, a w drugiej liczba zdjęć zawierających <code>k</code> par elektronowych). Widzimy, że rozkład ten przypomina rozkład Poissona - próbujemy zatem obliczyć estymator największej wiarygodności dla parametry rozkładu Poissona (patrz [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad11-2019.pdf Wykład 11] slajd 14) (1 pkt.)

* Narysować na jednym wykresie punkty pomiarowe i dopasowanie (metodą estymatora największej wiarygodności i funkcją Fit z ROOT'a użytą z parametrami "LR" - dopasowanie metodą największej wiarygodności). Funkcja TF1 do rysowania (i dopasowania ROOT'em) to TMath::PoissonI (1 pkt.)

* Sprawdzić jakość dopasowania za pomocą testu χ2. W tym celu należy zaimplementować funkcję obliczającą statystykę testową χ2 zgodnie z wzorem [[File:wzor.png]]
gdzie: nk - liczba obserwacji w k-tym binie, npk - przewidywana przez teorię liczba przypadków w k-tym binie tj.:

 // h - histogram danych
 // g - przewidywanie "teoretyczne"
 double chi2(TH1D *h, TF1 *f);

* Okreslić liczbę stopni swobody i obliczyć wartość statystyki testowej. (1 pkt.)

* Zaimplementować funkcję zwracającą wynik testu χ2 na zadanym poziomie istotności α tj.:
 // true - brak podstaw do odrzucenia hipotezy
 // false - sa podstawy do odrzucenia hipotezy
 // Parametry:
 // T - wartosc statystyki testowej chi2
 // alpha - poziom istotnosci
 // ndf - liczba stopni swobody rozkladu chi2
 bool testChi2(double T, double alpha, int ndf);

Wykorzystując zaimplementowaną funkcję zweryfikować hipotezę mówiacą, że dane pomiarowe podlegają rozkładowi Poissona. Dobrać odpowiednią wartość poziomu istotności. Uwaga! Kwanyl możemy odczytać z policzonej na ostatnich zajęciach dystrybuanty. (2 pkt.)

== Uwagi ==
* Nasze zadanie to '''ręczne''' przeprowadzenie czynności wykonywanych automatycznie przez funkcję <code>Fit</code>.
* Zadanie zawiera w sobie dwie części: wyznaczenie parametru rozkładu Poissona '''metodą największej wiarygodności''' (maximum likelihood), szukając '''estymatora o najniższej wariancji'''. Czytamy zatem: Wykład 9 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad9-2019.pdf link] - o metodzie największej wiarygodności, od początku do slajdu 24 (to są części teoretyczne z wyprowadzeniami), dalej Wykład 10 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad10-2019.pdf link]
* Funkcja wiarygodności to ogólnie rzecz biorąc funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dla '''parametrów''' badanego rozkładu, okreslana na podstawie próby losowej (jeżeli badamy np. rozkład wzrostu Polaków f(x), gdzie X to zmienna losowa okreslająca wzrost Polaków, np. rozkład Gaussa o dwóch parametrach (średnia, odchylenie), to L będzie funkcją wiarygodności, rozkładem prawdopodobieństwa parametrów średniej i odchylenia -> szukamy maksimum funkcji L, które da nam najbardziej wiarygodne wartości parametrów średnia i odchylenie funkcji f(x))
* Szukanie parametrów metodą największej wiarygodności polega na rozwiązaniu równań wiarygodności, które są niczym innym tylko warunkami koniecznymi na istnienie maksimum funkcji L (zgodnie z analizą matematyczna - liczymy odpowiednie pochodne)
* Dla rozkładu Poissona estymator o najniższej wariancji otrzymany metodą największej wiarygodności wynika z rozwiązania równania wiarygodności (jedno równanie, bo jeden parametr Lambda) - slajd 14 na Wykładzie 11 [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad11-2019.pdf link]
* Druga część, po znalezieniu estymatora o najwyższej wiarygodności, polega na przeprowadzeniu testu chi-kwadrat. W tym celu czytamy dokładnie Wykład 11 (zwłaszcza slajdy 7-16) [http://www.if.pw.edu.pl/~lgraczyk/KADD2019/Wyklad11-2019.pdf link].
* Na wykresie poniżej (histogram) są dwie linie - niebieska i czerwona. Jedna z nich to dopasowanie dokonane automatycznie funkcją <code>Fit</code>, druga to ręczne dopasowanie sposeb powyżej.
* Do rozkładu Poissona w postaci takich "schodków" stosujemy funkcję <code>TMath::PoissonI</code> ([https://root.cern.ch/root/html534/TMath.html#TMath:PoissonI link])
* Kwantyl rozkładu chi-kwadrat o odpowiedniej liczbie stopni swobody do wykonania testu możemy odczytać z '''Zadania 9''' (poprzednie zajęcia) - po to żeśmy te rozkłady chi-kwadrat rysowali.

== Wynik ==

[[File:Lab10_2.png]]

Output:
 FCN=5.75356 FROM MIGRAD    STATUS=CONVERGED      29 CALLS          30 TOTAL
                     EDM=5.17016e-07    STRATEGY= 1      ERROR MATRIX ACCURATE 
  EXT PARAMETER                                   STEP         FIRST   
  NO.   NAME      VALUE            ERROR          SIZE      DERIVATIVE 
   1  p0           3.55268e+02   1.88558e+01   3.25727e-02   3.68816e-05
   2  p1           2.33737e+00   8.17264e-02   1.40382e-04  -2.26405e-03
                               ERR DEF= 0.5
 
 Lambda najwiekszej wiarygodnosci: 2.33239
 Lambda (ROOT Fit): 2.33737
 chi2 (wartosc statystyki testowej T): 10.5336
 chi2/NDF: 1.7556
 chi2 (ROOT Fit): 9.85507
 chi2 (ROOT Fit)/NDF: 1.40787
 Poziom istotnosci alpha: 0.01
 Wynik testu: nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy