Back to Index

 

 

POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA. KONDENSATOR.

ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW.

ZASTOSOWANIE PRAWA GAUSSA DO OBLICZANIA POJEMNOŚCI KONDENSATORÓW.

 ENERGIA NAŁADOWANEGO KONDENSATORA.

GĘSTOŚĆ ENERGII POLA ELEKTRYCZNEGO  

 

 

* Pojemność elektryczna

* Kondensator

* Łączenie kondensatorów

* Zastosowanie prawa Gaussa do obliczania pojemności kondensatorów

* Energia naładowanego kondensatora

* Gęstość energii pola elektrycznego

 

           

Skos: 1. POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA

 

Jeżeli dowolny izolowany przedmiot metalowy (przewodnik) naładujemy ładunkiem Q to ten przewodnik uzyska pewien potencjał elektryczny V (różnicę potencjału między przewodnikiem a Ziemią). O tym jak duży będzie to potencjał przy ustalonym Q decyduje  pojemność elektryczna C przewodnika. Jeżeli pojawi się niewielki potencjał to pojemność przewodnika jest duża. Gdy dla tego samego ładunku otrzymamy duży potencjał to pojemność przewodnika jest mała.

 

 

Pojemność elektryczną C przewodnika zdefiniujemy zatem jako stosunek ładunku Q znajdującego się na tym przewodniku do wartości potencjału elektrycznego V jaki pojawia się w rezultacie wprowadzenia tego ładunku na przewodnik.

 

 

Widzimy więc, że pojemność elektryczną ma każdy przewodnik, nawet kawałek przewodu użytego do połączeń.

 

 

Skos: 2. KONDENSATOR

 

Jak zobaczyliśmy, izolowany przewodnik może gromadzić ładunek elektryczny. Jednak w praktyce do magazynowania ładunku stosujemy urządzenia zwane kondensatorami. Kondensator stanowi układ dwóch dowolnych izolowanych od siebie przewodników, przy czym ładowanie kondensatora polega nie na oddzielnym ładowaniu każdego z przewodników, ale na przesunięciu ładunku (jednakowego na obu przewodnikach, ale o przeciwnych znakach) z jednego przewodnika do drugiego.

 

Pojemność elektryczną C kondensatora definiujemy dokładnie tak jak pojemność izolowanego przewodnika.

 

 

Kondensatory stosowane w technice są o wiele bardziej zgrabne. Są zwykle zbudowane jako układ dwóch izolowanych od siebie powierzchni o najrozmaitszym kształcie z reguły umieszczonych równolegle do siebie. Jak zobaczymy dalej, pojemność takiego kondensatora jest proporcjonalna do wielkości powierzchni płyt i odwrotnie proporcjonalna do odległości między nimi. Zatem kondensator o dużej pojemności ma płyty o dużej powierzchni, położone możliwie blisko siebie. Najprostszy taki kondensator to kondensator płaski przedstawiony schematycznie na rysunku poniżej.

 

Ilustracją stałości ładunku na okładkach kondensatorów nie podłączonych do źródła napięcia może służyć przykład dwóch kondensatorów połączonych ze sobą jak na rysunku poniżej (równolegle). Pierwotnie ładujemy ten układ tak, że okładkach jednego kondensatora jest ładunek Q1 a na okładkach drugiego ładunek Q2. Potencjał, na jakim znajdują się górne okładki jest dla obu taki sam (okładki są połączone włóknem żarówki). Kiedy zaczniemy zmieniać odległości między okładkami jednego z kondensatorów wtedy będziemy zmieniali jego pojemność – im węższa będzie szczelina między okładkami tym większa będzie pojemność kondensatora. Ponieważ sumaryczny ładunek obu kondensatorów jest niezmienny to taka zmiana pojemności spowoduje przelewanie się ładunku między kondensatorami. Jeżeli kondensatory są naładowane wystarczająco dużym ładunkiem, to w czasie jego przepływu między okładkami tworzącymi górną parę żarówka może świecić. Energia, jaka jest potrzebna do świecenia żarówki pochodzi z pracy, jaką wykonujemy przy przemieszczaniu okładki (okładki górna i dolna są naładowane ładunkami o przeciwnych znakach, a zatem przyciągają się).

 

 

 

Skos: 3. ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW

 

Łączenie szeregowe kondensatorów. W połączeniu szeregowym, jak na schemacie poniżej, wartości ładunków na wszystkich okładkach wszystkich kondensatorów są takie same.

 

 

Spadek potencjału na układzie szeregowym jest równy sumie różnic potencjałów na poszczególnych kondensatorach

 

 

Stąd sumaryczna pojemność C układu szeregowego jest określona wzorem

 

 

Łączenie równoległe kondensatorów. W połączeniu równoległym

 

 

sumaryczny ładunek Q zgromadzony w układzie jest równy sumie  ładunków na okładkach wszystkich kondensatorów .

 

 

Spadek potencjału jest jednakowy na każdym z kondensatorów a zatem

 

 

Stąd sumaryczna pojemność C układu równoległego jest równa sumie pojemności wszystkich  kondensatorów

 

 

 

DLA DOCIEKLIWYCH

Łączenie mostkowe kondensatorów. Połączenia szeregowe i równoległe nie wyczerpują wszystkich możliwych konfiguracji, jakie możemy uzyskać przez łączenie kondensatorów. Wszystkie możliwe konfiguracje będziemy mogli opisać dopiero po uzupełnieniu poprzednich połączeń o łączenie mostkowe, którego schemat jest pokazany na lewym rysunku poniżej.

 

 

Połączenia mostkowego nie możemy bezpośrednio zastąpić żadną kombinację połączeń szeregowych i równoległych. Aby obliczyć pojemność zastępczą układu mostkowego należy zastosować zamianę trójkąta kondensatorów w równoważną gwiazdę jak pokazano na rysunkach środkowym i prawym powyżej.

            Pojemności między punktami 1-2, 2-3 i 3-1, które oznaczamy jako C12, C23 i C31, powinny być takie same w obu konfiguracjach. Na podstawie wartości pojemności C1, C2 i C3 należy obliczyć Cx, Cy i Cz.  Warunki równości pojemności w obu konfiguracjach, dla trójkąta i dla gwiazdy, zapisujemy jako

 

 

Stąd otrzymujemy poszukiwane wartości Cx, Cy i Cz:

 

 

Po zamianie trójkąta w gwiazdę znika już połączenie mostkowe a w jego miejsce otrzymujemy prostą i łatwą do obliczenia kombinację połączeń szeregowych i równoległych kondensatorów

 

 

 

 

 

Skos: 4. ZASTOSOWANIE PRAWA GAUSSA DO OBLICZANIA POJEMNOŚCI KONDENSATORÓW

 

Mając do obliczenia pojemność kondensatora o zadanej geometrii stosujemy następujący schemat postępowania:

 

1. Wychodzimy z definicji pojemności kondensatora, Różnicę potencjałów Vab wstawiamy do wzoru definiującego tę pojemność. Ładunek Q redukuje się.

 

 

2. ale brakuje nam różnicy potencjałów Vab, którą znajdujemy z relacji miedzy polem E i V,

 

 

3. jednak musimy najpierw znać E i w tym celu posłużymy się uniwersalnym narzędziem jakim jest prawo Gaussa:

 

 

 

Przykłady zastosowania schematu.

 

Prawo Gaussa jest spełnione dla każdej powierzchni zamkniętej A. Taką powierzchnię należy jednak wybrać tak, aby całkowanie było możliwie najprostsze. W przedstawionych niżej przykładach, kształt proponowanej powierzchni Gaussa dla omawianych przypadków jest symbolizowany przez kontur  rysowany krzywą przerywaną. Obliczenia są wykonane zgodnie z przedstawionym schematem i nie zawierają dodatkowych wyjaśnień. ε0 jest przenikalnością elektryczną próżni.

 

Kondensator płaski

 

 

 

 

 

 

 

 

Kondensator cylindryczny

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kondensator sferyczny

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Celem zaprezentowanych przykładów jest pokazanie jak schemat obliczeń działa w praktyce. Zapamiętać należy tylko wzór na pojemność kondensatora płaskiego, który będzie często wykorzystywany w dalszym kursie.

 

 

Skos: 5. ENERGIA NAŁADOWANEGO KONDENSATORA

 

Energia naładowanego kondensatora U jest równa pracy W jaką wykonamy przy jego ładowaniu. Cała energia U jest zawarta w polu elektrycznym między okładkami kondensatora.

 

W czasie ładowania kondensatora różnica potencjałów między jego okładkami V(q) zależy od ładunku q, jaki aktualnie znajduje się na okładkach. Praca przeniesienia między okładkami dodatkowego ładunku dq wynosi

Energia pola w kondensatorze całkowicie naładowanym ładunkiem Q staje się

 

 

czyli

 

 

 

Skos: 6. GĘSTOŚĆ ENERGII POLA ELEKTRYCZNEGO

 

Gęstość energii pola elektrycznego u obliczymy dzieląc energię U przez objętość zajmowaną przez pole. Posługując się prostą geometrią kondensatora płaskiego o powierzchni okładek A i odległości między okładkami d znajdziemy wartość u słuszną dla pola E o dowolnej geometrii:

 

 

czyli

 

 

 

 

Back to Index