POJEMNOŚĆ
ELEKTRYCZNA. KONDENSATOR.
ŁĄCZENIE
KONDENSATORÓW.
ZASTOSOWANIE
PRAWA GAUSSA DO OBLICZANIA POJEMNOŚCI KONDENSATORÓW.
ENERGIA NAŁADOWANEGO KONDENSATORA.
GĘSTOŚĆ
ENERGII POLA ELEKTRYCZNEGO
* Zastosowanie prawa Gaussa do obliczania pojemności kondensatorów
* Energia naładowanego kondensatora
* Gęstość energii
pola elektrycznego
Jeżeli
dowolny izolowany przedmiot metalowy (przewodnik) naładujemy ładunkiem Q to ten
przewodnik uzyska pewien potencjał elektryczny V (różnicę potencjału między
przewodnikiem a Ziemią). O tym jak duży będzie to potencjał przy ustalonym Q
decyduje pojemność elektryczna C
przewodnika. Jeżeli pojawi się niewielki
potencjał to pojemność przewodnika jest duża. Gdy dla tego samego ładunku
otrzymamy duży potencjał to pojemność przewodnika jest mała.
Pojemność elektryczną C
przewodnika zdefiniujemy zatem jako stosunek ładunku Q znajdującego się na tym
przewodniku do wartości potencjału elektrycznego V jaki pojawia się w
rezultacie wprowadzenia tego ładunku na przewodnik.
Widzimy więc, że pojemność elektryczną ma każdy przewodnik, nawet kawałek przewodu użytego do połączeń.
Jak zobaczyliśmy, izolowany
przewodnik może gromadzić ładunek elektryczny. Jednak w praktyce do
magazynowania ładunku stosujemy urządzenia zwane kondensatorami. Kondensator
stanowi układ dwóch dowolnych izolowanych od siebie przewodników, przy czym
ładowanie kondensatora polega nie na oddzielnym ładowaniu każdego z
przewodników, ale na przesunięciu ładunku (jednakowego na obu przewodnikach,
ale o przeciwnych znakach) z jednego przewodnika do drugiego.
Pojemność elektryczną C
kondensatora definiujemy dokładnie tak jak pojemność izolowanego przewodnika.
Kondensatory stosowane w technice są o wiele bardziej zgrabne. Są zwykle zbudowane jako układ dwóch izolowanych od siebie powierzchni o najrozmaitszym kształcie z reguły umieszczonych równolegle do siebie. Jak zobaczymy dalej, pojemność takiego kondensatora jest proporcjonalna do wielkości powierzchni płyt i odwrotnie proporcjonalna do odległości między nimi. Zatem kondensator o dużej pojemności ma płyty o dużej powierzchni, położone możliwie blisko siebie. Najprostszy taki kondensator to kondensator płaski przedstawiony schematycznie na rysunku poniżej.
Ilustracją stałości ładunku na okładkach kondensatorów nie
podłączonych do źródła napięcia może służyć przykład dwóch kondensatorów
połączonych ze sobą jak na rysunku poniżej (równolegle). Pierwotnie ładujemy
ten układ tak, że okładkach jednego kondensatora jest ładunek Q1 a
na okładkach drugiego ładunek Q2. Potencjał, na jakim znajdują się
górne okładki jest dla obu taki sam (okładki są połączone włóknem żarówki).
Kiedy zaczniemy zmieniać odległości między okładkami jednego z kondensatorów
wtedy będziemy zmieniali jego pojemność – im węższa będzie szczelina
między okładkami tym większa będzie pojemność kondensatora. Ponieważ sumaryczny
ładunek obu kondensatorów jest niezmienny to taka zmiana pojemności spowoduje
przelewanie się ładunku między kondensatorami. Jeżeli kondensatory są
naładowane wystarczająco dużym ładunkiem, to w czasie jego przepływu między
okładkami tworzącymi górną parę żarówka może świecić. Energia, jaka jest
potrzebna do świecenia żarówki pochodzi z pracy, jaką wykonujemy przy
przemieszczaniu okładki (okładki górna i dolna są naładowane ładunkami o
przeciwnych znakach, a zatem przyciągają się).
Łączenie szeregowe
kondensatorów. W połączeniu
szeregowym, jak na schemacie poniżej, wartości ładunków na wszystkich okładkach
wszystkich kondensatorów są takie same.
Spadek potencjału na
układzie szeregowym jest równy sumie różnic potencjałów na poszczególnych
kondensatorach
Stąd sumaryczna pojemność C układu szeregowego jest określona wzorem
Łączenie równoległe
kondensatorów. W połączeniu równoległym
sumaryczny ładunek Q zgromadzony w
układzie jest równy sumie ładunków na
okładkach wszystkich kondensatorów .
Spadek potencjału jest jednakowy
na każdym z kondensatorów a zatem
Stąd sumaryczna pojemność C układu równoległego jest równa sumie pojemności wszystkich kondensatorów
DLA DOCIEKLIWYCH Łączenie mostkowe
kondensatorów.
Połączenia szeregowe i równoległe nie wyczerpują wszystkich możliwych
konfiguracji, jakie możemy uzyskać przez łączenie kondensatorów. Wszystkie
możliwe konfiguracje będziemy mogli opisać dopiero po uzupełnieniu
poprzednich połączeń o łączenie mostkowe, którego schemat jest pokazany na
lewym rysunku poniżej. Połączenia
mostkowego nie możemy bezpośrednio zastąpić żadną kombinację połączeń
szeregowych i równoległych. Aby obliczyć
pojemność zastępczą układu mostkowego należy zastosować zamianę trójkąta
kondensatorów w równoważną gwiazdę jak pokazano na rysunkach środkowym i prawym
powyżej. Pojemności między punktami 1-2, 2-3 i 3-1, które
oznaczamy jako C12, C23 i C31, powinny być
takie same w obu konfiguracjach. Na podstawie wartości pojemności C1,
C2 i C3 należy obliczyć Cx, Cy i
Cz. Warunki równości
pojemności w obu konfiguracjach, dla trójkąta i dla gwiazdy, zapisujemy jako
Stąd otrzymujemy poszukiwane wartości Cx, Cy
i Cz:
Po zamianie trójkąta w gwiazdę znika już połączenie mostkowe a w jego miejsce otrzymujemy prostą i łatwą do obliczenia kombinację połączeń szeregowych i równoległych kondensatorów |
Mając do obliczenia pojemność
kondensatora o zadanej geometrii stosujemy następujący schemat postępowania:
1. Wychodzimy z definicji
pojemności kondensatora, Różnicę potencjałów Vab wstawiamy do wzoru
definiującego tę pojemność. Ładunek Q redukuje się.
2. ale brakuje nam różnicy potencjałów Vab, którą znajdujemy z relacji miedzy polem E i V,
3. jednak musimy najpierw znać E
i w tym celu posłużymy się uniwersalnym narzędziem jakim jest prawo Gaussa:
Przykłady zastosowania schematu.
Prawo Gaussa jest spełnione dla każdej powierzchni zamkniętej A. Taką powierzchnię należy jednak wybrać tak, aby całkowanie było możliwie najprostsze. W przedstawionych niżej przykładach, kształt proponowanej powierzchni Gaussa dla omawianych przypadków jest symbolizowany przez kontur rysowany krzywą przerywaną. Obliczenia są wykonane zgodnie z przedstawionym schematem i nie zawierają dodatkowych wyjaśnień. ε0 jest przenikalnością elektryczną próżni.
Kondensator płaski
Kondensator cylindryczny
Kondensator sferyczny
Celem zaprezentowanych
przykładów jest pokazanie jak schemat obliczeń działa w praktyce. Zapamiętać
należy tylko wzór na pojemność kondensatora płaskiego, który będzie często
wykorzystywany w dalszym kursie.
Energia naładowanego kondensatora U jest równa pracy W jaką wykonamy przy jego ładowaniu. Cała energia U jest zawarta w polu elektrycznym między okładkami kondensatora.
W czasie
ładowania kondensatora różnica potencjałów między jego okładkami V(q) zależy od
ładunku q, jaki aktualnie znajduje się na okładkach. Praca przeniesienia między
okładkami dodatkowego ładunku dq wynosi
Energia pola w kondensatorze całkowicie naładowanym ładunkiem Q staje się
czyli
Gęstość energii pola elektrycznego u obliczymy
dzieląc energię U przez objętość zajmowaną przez pole. Posługując się prostą
geometrią kondensatora płaskiego o powierzchni okładek A i odległości między
okładkami d znajdziemy wartość u słuszną dla pola E o dowolnej
geometrii:
czyli