Back to Index

 

 

PODSTAWY FIZYKI STATYSTYCZNEJ 

Prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa. Wartości średnie.

Rozkład Maxwella. Rozkład Boltzmanna.  

 

* Podstawowe definicje rachunku prawdopodobieństwa

* Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych

*                Kiedy zdarzenia A i B wykluczają się

*                Kiedy zdarzenia A i B nie wykluczają się

*                Wartość średnia wielkości dyskretnej

* Gęstość prawdopodobieństwa i funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa

*                Wartość średnia wielkości ciągłej i funkcji wielkości ciągłej

* Rozkład Maxwella

* Rozkład Boltzmanna

 

Skos: PODSTAWOWE DEFINICJE RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

 

Jeżeli spośród wszystkich N zdarzeń losowych (np z całej liczby losowań) znajdziemy Ni zdarzeń pozytywnych (np. wylosowanych czerwonych kul), to prawdopodobieństwo wystąpienia takiego zdarzenia elementarnego Pi określamy jako stosunek

 

Prawdopodobieństwo P = 1 oznacza absolutną pewność (np. w worku są tylko czerwone kule), natomiast P = 0 oznacza brak jakichkolwiek szans (w worku nie ma ani jednej czerwonej kuli).

            Suma wszystkich prawdopodobieństw Pi jest równa 1 (na pewno wyciągniemy jakąkolwiek kulę). Ta równość nosi nazwę warunku normalizacji

 

 

 

 

Skos: PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZDARZEŃ ELEMENTARNYCH

 

Skos: Kiedy zdarzenia A i B wykluczają się: 

          

 

Wtedy prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z tych zdarzeń jest sumą obu prawdopodobieństw:

 

 

Jeżeli np. co pewien czas odwiedzają nas Andrzej (zdarzenie A) i Beata (zdarzenie B) to prawdopodobieństwo pojawienia się dziś Andrzeja oznaczmy jako PA, a prawdopodobieństwo odwiedzin Beaty jako PB.  Jeżeli te dwa zdarzenia nawzajem się wykluczają (nie mogą wystąpić łącznie), wtedy prawdopodobieństwo, że odwiedzi nas dziś Andrzej lub Beata, PA lub B, jest sumą obu prawdopodobieństw:

 

                                    

           

 

 

Skos: Kiedy zdarzenia A i B NIE wykluczają się:

 

Iloczyn, A × B, jest zbiorem zdarzeń, które należą do A i B łącznie. Jeżeli zdarzenia występują łącznie, to niekoniecznie znaczy, że jednocześnie. Jeżeli, np. w ciągu roku występują średnio trzy trzęsienia ziemi i pięć razy w roku występuje gradobicie to możemy zapytać, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w tym miesiącu wystąpią oba zjawiska (3/12 i 5/12) (niekoniecznie w tym samym dniu).

 

            Jeżeli zdarzenia A i B nie wykluczają się wzajemnie (są od siebie niezależne), to prawdopodobieństwo łącznego wystąpienia obu zdarzeń, czyli prawdopodobieństwo, że dziś odwiedzą nas Andrzej oraz Beata, PA oraz B, jest równe iloczynowi prawdopodobieństw obu zdarzeń

 

                      

 

ta reguła jest często stosowana jako definicja niezależności zdarzeń.

 

 

 

 

Suma, A+B, jest zbiorem zdarzeń, które należą przynajmniej do jednego zbioru A lub B.

 

Jeżeli zdarzenia A i B nie wykluczają się wzajemnie, to prawdopodobieństwo wystąpienia któregokolwiek z obu zdarzeń jest mniejsze niż byłoby dla zdarzeń, które się wzajemnie wykluczały.

 

 

Teraz szansa, że dziś odwiedzi nas Andrzej lub Beata, PA lub B, będzie już mniejsza niż wtedy kiedy te zdarzenia się wykluczały. Oznacza to, że kiedy zdarzenia A i B nie wykluczają się (mogą czasem wystąpić łącznie), to prawdopodobieństwo PA×B  powinno być odjęte od sumy ponieważ obszar A×B był liczony podwójnie w trakcie liczenia PA + PB. Jeśli każdy, Andrzej i Beata, odwiedza nas średnio 15 razy w miesiącu i bywa, że niekiedy obaj przychodzą tego samego dnia (nie wykluczają się wzajemnie), to wcale nie jest pewne, że dziś pojawi się któryś z nich a byłoby tak gdyby te zdarzenia się wzajemnie wykluczały.

 

 

           

Różnica, A-B, jest zbiorem zdarzeń, które należą do A, ale z wyłączeniem tych, które należą jednocześnie do B.

Jeżeli zdarzenia A i B nie wykluczają się wzajemnie, to prawdopodobieństwo wystąpienia tylko zdarzenia A z wyłączeniem wystąpienia zdarzenia B jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A zmniejszonym o prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia obu zdarzeń:

 

 

Oznacza to szansę, że dziś odwiedzi nas Andrzej sam, bez Beaty.

 

 

 

 

Skos: Wartość średnia wielkości dyskretnej

 

            Wartość średnia wielkości przyjmującej wartości dyskretne x jest zwykłą średnią ważoną:

 

 

 

Skos: GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA
I FUNKCJA ROZKŁADU GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA

 

Łatwo odpowiedzieć na pytanie, jaka jest szansa znalezienia na Ziemi drzewa o wysokości równej 15 m? Odpowiedź brzmi – żadnej szansy. Dlaczego? Wysokość drzewa jest wielkością ciągłą i sensowne jest tylko pytanie o drzewa, których wysokość zawiera się w pewnym przedziale, np. między 14.9 m a 15.1 m. Jeżeli parametr x ma rozkład ciągły, jak np. wysokość drzewa czy średnica ziarenek piasku na plaży, to rozkład taki powinien być definiowany przez funkcję f(x), zwaną funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa. Jeżeli prawdopodobieństwo znalezienia wielkości x w przedziale od x do x+dx wynosi dP(x), to funkcja rozkładu prawdopodobieństwa f(x) jest definiowana równaniem:

 

       

 

Całkując po całym obszarze zmienności parametru x, otrzymujemy warunek normalizacji prawdopodobieństwa

 

 

Prawdopodobieństwo, że parametr ciągły x przyjmie wartość z przedziału między A i B wynosi

 

 

Skos: Wartość średnia wielkości ciągłej i funkcji wielkości ciągłej

 

Wartość średnia wielkości przyjmującej wartości  ciągłe jest określona przez funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x):

 

 

Wartość średnia funkcji tej wielkości ciągłej φ(x)   jest także określona przez funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x):

 

 

Skos: ROZKŁAD MAXWELLA

 

Przykładem funkcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa jest rozkład Maxwella prędkości molekuł oparty na ich energii kinetycznej

 

 

Prawdopodobieństwo znalezienia jakiejś cząstki mającej prędkość w przedziale od v do v + dv wynosi:

 

 

Kiedy liczba wszystkich cząstek w układzie wynosi N, to prawdopodobieństwo dP(v) tego, że w przedziale od v do v + dv znajdziemy dN(v) cząstek wyniesie:

 

 

 

Stąd liczba N12 cząstek, których prędkość jest zawarta między v1 a v2 wynosi:

 

 

Rozkład Maxwella prędkości molekuł opisujący najbardziej prawdopodobny rozkład prędkości w chaotycznym ruchu molekuł w gazie można przedstawić na wykresie, na którym zaznaczono prędkość najbardziej prawdopodobną vp, prędkość średnią <v> i średnią prędkość kwadratową vrms.

 

 

Wraz ze wzrostem temperatury krzywa rozkładu Maxwella ulega „rozmyciu” a charakterystyczne prędkości: najbardziej prawdopodobna vp, średnia <v> i średnia kwadratowa vrms są przesunięte w kierunku wyższych wartości.

 

Rozkład Maxwella jest funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa dla prędkości cząstek. Możemy go zatem zastosować do znajdowania wartości średniej prędkości cząstek a również do znajdowania średniej wartości kwadratu tej prędkości czyli wielkości, która określa średnią energię kinetyczną cząstek.

            Jeżeli, dla uproszczenia, rozkład Maxwella zapiszemy w postaci

 

gdzie  to wartości średnie  i  otrzymamy z równań

 

 

 

Występująca w obu tych równaniach całka ma rozwiązanie, które może być wyrażone przez funkcję gamma Γ(v) (I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Matematyka):

 

 

Przy n parzystym (n = 2k) całka ta równa się   a przy n nieparzystym (n = 2k + 1) całka równa się  . W naszym przypadku n równa się odpowiednio 3 i 4 i na poszukiwaną wartość średnią prędkości otrzymujemy wyrażenie

 

 

 

zaś na średnią prędkość kwadratową  znajdujemy

 

 

Prędkość najbardziej prawdopodobna jest tą prędkością, dla której krzywa rozkładu Maxwella osiąga maksimum. Ponieważ w tym punkcie df(v)/dv = 0, to przez proste różniczkowanie dostajemy

 

 

 

Skos: ROZKŁAD BOLTZMANNA

 

Innym przykładem funkcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa jest rozkład Boltzmanna  oparty na energii potencjalnej cząstek (atomów, molekuł elektronów itd.). Rozkład Boltzmanna opisuje zależność liczby molekuł w objętości dV = dx dy dz w punkcie (x, y, z) od ich energii potencjalnej Ep

 

 

n0 jest liczbą molekuł w jednostce objętości (gęstością) w miejscu, gdzie ich energia potencjalna jest przyjęta za równą zeru. Inaczej mówiąc, jeżeli gęstość n0 jest liczbą cząstek w jednostce objętości w miejscu, gdzie ich energia potencjalna jest przyjęta za równą zeru, to gęstość n będąca liczbą cząstek w jednostce objętości w miejscu, gdzie ich energia potencjalna wynosi Ep jest określona przez równanie

 

 

Przykładem zastosowania rozkładu Boltzmanna może być wzór barometryczny, określający gęstość cząstek gazu na wysokości h, gdzie ich energia potencjalna wynosi Ep = mgh:

 

 

Back to Index