Back to Index

MOMENT BEZWŁADNOŚCI

Główne osie bezwładności. Energia kinetyczna ruchu obrotowego.

* Moment bezwładności układu punktów materialnych

* Moment bezwładności brył sztywnych

* Przykłady obliczania momentów bezwładności

* Twierdzenie Steinera

* Dowód twierdzenia Steinera

* Główne osie bezwładności – elipsoida bezwładności

* Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Moment bezwładności punktu materialnego lub bryły sztywnej pełni w ruchu obrotowym dokładnie tę samą rolę, jak masa tych ciał w ruchu postępowym. Moment bezwładności, który oznaczamy dużą literą I (od inertia), opisuje sposób rozkładu masy wokół osi obrotu. Im dalej masa jest rozłożona wokół osi obrotu, tym większy jest jej moment bezwładności I. Moment bezwładności jest zawsze funkcją kwadratu odległości elementów masy od osi obrotu i dla pojedynczego punktu o masie m obracającego się w odległości R

W przypadku wielu punktów, ich łączny moment bezwładności jest sumą momentów poszczególnych punktów (moment bezwładności jest wielkością addytywną):

Proszę zwrócić uwagę, że R tutaj nie jest wektorem – jest najkrótszą odległością od osi obrotu.

Jeżeli masa m jest rozłożona w sposób ciągły w objętości V, to moment bezwładności ciała względem dowolnej osi (przechodzącej przez objętość ciała lub poza nią) obliczamy na podstawie ogólnego równania:

gdzie r jest odległością elementu masy dm od osi obrotu, ρ - lokalną gęstością ciała, zaś dV - objętością zajmowaną przez element masy dm.

W ogólnym przypadku, całkowanie po całej objętości bryły w obliczaniu momentu bezwładności może być bardzo trudne albo niewykonalne. Jeżeli jednak bryła jest symetryczna względem osi, dla której obliczamy moment bezwładności, to całkowanie może być całkiem łatwe. Przykładem może być wydrążony walec o masie M i o promieniu wewnętrznym r, a zewnętrznym R:

Jeżeli moment bezwładności I liczymy względem osi walca, to standardowo dzielimy go na nieskończenie cienkie cylindry o grubości dx i masie dm.

Moment bezwładności takiego cienkiego cylindra wynosi dI = x² dm. Dlaczego? Moment bezwładności całego walca wyniesie

Dlaczego moment bezwładności nie znika, kiedy R = r ?

Dlaczego moment bezwładności nie zależy od długości walca ?

Inne przykłady obliczania momentów bezwładności:

Przykład 2. Obliczanie momentu bezwładności I jednorodnej kuli o masie M i o promieniu R. Moment I liczymy względem osi przechodzącej przez środek kuli. Sposób pierwszy: Oś obrotu umieszczamy wzdłuż osi x z początkiem w środku kuli. Kulę dzielimy na cienkie dyski o zmiennych promieniach r ≤ R mających grubość dx i masę dm, jak na rys. a). Pomocniczo wyliczamy moment bezwładności elementarnego dysku względem osi obrotu przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do jego powierzchni. Chwilowo założymy, że dysk ma masę m i promień r (rys. b). Dzielimy dysk na pierścienie o promieniach x.

Każdy pierścień o szerokości dx i masie dm będzie miał względem osi obrotu moment bezwładności dI = x²dm.

Ponieważ dm = σ dS, gdzie σ = m/S = m/(πr²) jest gęstością powierzchniową masy, a dS = 2πx dx jest powierzchnią pierścienia, to

Stąd

Jeżeli ten wynik zastosujemy do rys. a), to poprzednio wyliczone I będzie spełniało rolę dI z masą dm

zaś

gdzie dV jest objętością dysku. Stąd

Ale

czyli

Obliczając I całkujemy to wyrażenie w granicach od 0 do R i aby uwzględnić obie półkule wynik mnożymy przez dwa:

Ostatecznie, moment bezwładności kuli liczony względem jej osi jest równy

Sposób drugi: Kulę dzielimy na współosiowe cylindry o wysokościach h i promieniach x, jak na rys. c). Oś cylindrów jest także osią obrotu. Moment bezwładności każdego z cylindrów wynosi

gdzie

Ponieważ

to

Moment bezwładności kuli znajdujemy z całki

Całkujemy stosując podstawienie R² - x² = t² i ponownie otrzymujemy

e) Sfera o promieniu R i o masie m. Moment bezwładności liczymy względem osi. Powierzchnię sfery tniemy na współosiowe pierścienie o promieniu x i szerokości dx, jak na rysunku poniżej:

Moment bezwładności pojedynczego pierścienia dI wynosi

oraz

Wartość I znajdujemy przez całkowanie względem φ w granicach od 0 do π (stosujemy podstawienie cos φ = u; - sin φ dφ = du) i znajdujemy dla sfery

Ten wynik możemy zastosować w jeszcze jednej metodzie liczenia momentu bezwładności dla kuli o masie m i o promieniu R. Wewnątrz kuli wydzielamy sferę o promieniu x i o grubości ścianki dx. Moment bezwładności tej sfery na podstawie poprzedniego wyrażenia wynosi

Stąd ponownie znajdujemy moment bezwładności kuli

W przypadku figur płaskich wygodnym sposobem liczenia momentu bezwładności względem osi prostopadłej do tej figury jest następujące spostrzeżenie: Jeżeli początek układu odniesienia znajduje się na powierzchni figury i osie x oraz y leżą również na tej powierzchni, to moment bezwładności figury względem osi z prostopadłej do jej powierzchni jest sumą momentów bezwładności figury względem osi x i osi y

Uzasadnienie tego jest proste. Ponieważ

a r² = x ² + y ², gdzie r jest odległością elementu masy od osi z, otrzymujemy wymienioną wyżej relację:

Całkowanie byłoby często niezwykle trudne gdyby oś, względem której obliczamy I, nie była osią symetrii, np. gdyby przechodziła na zewnątrz. Jeżeli ta nowa oś jest równoległa do osi przechodzącej przez środek masy i jest od niej oddalona o odległość d, to wtedy możemy zastosować twierdzenie o osiach równoległych (tzw. twierdzenie Steinera):

Jeżeli moment bezwładności bryły o masie M liczony względem osi przechodzącej przez jej środek masy wynosi I₀, to moment bezwładności I liczony względem innej osi równoległej do poprzedniej i oddalonej od niej o d jest równy

Dowód twierdzenia Steinera. Wybierzmy płaską płytkę o masie M (każdą bryłę trójwymiarową możemy pociąć na stos takich „talarków”). Oś obrotu przechodzi przez środek masy C i jest prostopadła do płaszczyzny płytki. Moment bezwładności płytki względem tej osi oznaczymy przez I₀. Szukamy momentu bezwładności I względem osi przechodzącej przez punkt D i równoległej do osi przechodzącej przez środek masy (punkt C). Odległość między oboma osiami wynosi d. Sytuacja jest przedstawiona na rys. (a).

Wybieramy w otoczeniu dowolnego punktu na płytce element masy dm. Przy oznaczeniach, jak na rysunku, moment bezwładności I₀ względem osi przechodzącej przez C wyniesie

Celem jest znalezienie momentu bezwładności I płytki względem osi przechodzącej przez D

Z elementu masy dm opuszczamy odcinek normalny do prostej d, jak na rys. (b). W powstałym w ten sposób trójkącie prostokątnym, w którym , kwadrat odległości R można zapisać wzorem

Po pomnożeniu obu stron równania przez dm i po scałkowaniu po całej powierzchni płytki otrzymujemy

czyli

Należy zauważyć, że odległość y jest mierzona od środka masy, a całka jest tożsama z całką, jaka występuje we wzorze na współrzędną środka masy. Jej wartość musi wynosić zero, ponieważ określa ona odległość środka masy od tego samego środka masy. Inaczej mówiąc, ponieważ odległość y jest mierzona od środka masy C to każdy iloczyn (y dm) jest równoważony przez iloczyn ( –y dm) o przeciwnym znaku. Zatem, z powodu zerowania się całki , otrzymaliśmy szukaną zależność

i tym samym twierdzenie Steinera zostało udowodnione.

W ruchu obrotowym bryły sztywnej jej kształt jest w zasadzie bez znaczenia, gdyż jej ruch jest określony przez jej osie bezwładności. Każdej bryle, niezależnie od tego, jak nieregularny jest jej kształt i niejednorodna gęstość, odpowiada elipsoida bezwładności. Na ogół, jest to elipsoida trójosiowa a jej osie noszą nazwę głównych osi bezwładności. Długość każdej z tych osi jest proporcjonalna do momentu bezwładności względem tej osi.

Głównymi osiami bezwładności (osiami elipsoidy będącej powierzchnią zdiagonalizowanego tensora bezwładności) nazywamy trzy osie przechodzące przez środek masy C i mające takie kierunki, że:

I - moment bezwładności względem tej osi jest największy;

II - prostopadła do osi I. i taka, względem której moment bezwładności ciała jest najmniejszy;

III - prostopadła do obu osi I. i II.

Momenty bezwładności określone względem głównych osi bezwładności noszą nazwę głównych momentów bezwładności I_I, I_II i I_III. Wartości głównych momentów bezwładności są równe długościom odpowiednich półosi elipsoidy bezwładności. Wartość momentu bezwładności I_x względem każdej innej osi przechodzącej przez środek masy C jest równa długości odcinka tej osi zawartego między środkiem masy a powierzchnią elipsoidy bezwładności. Oznacza to, że trzy główne momenty bezwładności określają momenty bezwładności względem wszystkich osi przechodzących przez środek masy.

Obrót bryły sztywnej wokół dowolnej osi przechodzącej przez środek masy można zawsze rozłożyć na trzy równoczesne obroty wokół głównych osi bezwładności. Taki rozkład nie jest możliwy dla jakichkolwiek innych trzech osi prostopadłych względem siebie. Najprostszymi rodzajami ruchu bryły sztywnej jest ruch obrotowy względem jednej z głównych osi bezwładności. Ruch taki jest stabilny tylko wtedy, gdy odbywa się wokół osi, dla której moment bezwładności jest największy. Ruch wokół osi II., dla której moment bezwładności jest najmniejszy, jest także stabilny, ale wtedy najmniejsze zaburzenie ruchu powoduje, że pojawia się para sił odśrodkowych, która stara się doprowadzić do obrotu wokół osi I. ciała. Ruch wokół osi III. jest zawsze niestabilny.

Wyrażenie na energię kinetyczną ruchu obrotowego otrzymujemy przez proste przekształcenie wyrażenia na energię kinetyczną w ruchu liniowym. Zastosujemy związek między prędkościami liniową i kątową oraz promieniem obrotu i otrzymujemy dla punktu materialnego

Stąd

gdzie I jest momentem bezwładności. Otrzymane wyrażenie na energię kinetyczną jest prawdziwe również i dla bryły sztywnej. Oś obrotu bryły musi być tą samą osią względem której obliczamy moment bezwładności.

Back to Index