PROCESY
TERMODYNAMICZNE W GAZACH IDEALNYCH
Praca w
procesach termodynamicznych
* Procesy termodynamiczne w gazach idealnych
* Praca w procesach termodynamicznych
Proces przechodzenia układu termodynamicznego z jednego stanu (opisywanego przez parametry stanu p1, V1, T1) do drugiego (opisywanego przez parametry stanu p2, V2, T2) nazywamy procesem termodynamicznym. WAŻNE: Będziemy traktowali wszystkie procesy jako odwracalne. Oznacza to, że w każdym momencie układ znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej. W każdym momencie spełnione jest także równanie stanu gazu idealnego: pV = RT.
Jeżeli w trakcie procesu „unieruchomimy” jedną z wielkości termodynamicznych, to w tym procesie będzie obowiązywał związek między tylko dwoma parametrami stanu (trzeci jest przecież ustalony). Upraszcza to opis i analizę przebiegu procesu. Będziemy kolejno ustalali w układzie ciśnienie p, objętość V, temperaturę T, ciepło Q i ciepło właściwe C. Zobaczymy jakie wtedy będą związki między pozostałymi dwoma parametrami stanu.
Na początek ustalmy ciśnienie p. Proces, w którym p = const nosi nazwę procesu izobarycznego.
Z równania stanu
otrzymujemy, że przy ustalonym p stała jest relacja między V i T:
Równie prosto znajdujemy relację między parametrami w procesie przy ustalonej objętości V, czyli V = const. Proces taki nazywamy izochorycznym.
I znowu z równania stanu
otrzymujemy, że przy ustalonej V stała jest relacja między p i T:
Analogicznie znajdujemy związek między parametrami w procesie przy ustalonej temperaturze T, czyli T = const. Proces taki nazywamy izotermicznym.
Na podstawie równania stanu pV = RT widać od razu, że w procesie izotermicznym:
Nieco bardziej złożone będzie poszukiwanie związku między parametrami termodynamicznymi w procesie, w którym ustalimy ciepło Q, Q = const. Nie ograniczamy zmienności parametrów p, V i T, ale nie pozwalamy na wymianę ciepła z otoczeniem (blokujemy dopływ i odpływ ciepła). Mówimy, że jest to proces adiabatyczny.
Szukając
związków między parametrami stanu w procesie adiabatycznym posłużymy się I.
zasadą termodynamiki i równaniem stanu (które w gazie idealnym obowiązuje
zawsze):
Ponieważ Q = const, to dQ = 0. Jeżeli dodatkowo zróżniczkujemy obustronnie równanie stanu, to otrzymamy układ równań:
Pamiętając, że R = Cp – CV, eliminujemy z tych równań dT i otrzymujemy jedno równanie:
Stosując w tym równaniu znany nam już wykładnik adiabatyczny κ = Cp/CV oraz dzieląc obie strony równania przez iloczyn PV, mamy
Należy zauważyć, że to równanie można zapisać „sprytnie” jako
Ponieważ różniczka logarytmu jest zerem, to sam logarytm jest stały, ln pVκ = const, a zatem stała jest też wartość logarytmowana, czyli
W otrzymanym równaniu możemy skorzystać z pV = RT (równania stanu) i podstawić z niego wartość za p. Otrzymamy wtedy drugie równanie dla procesu adiabatycznego:
Oba otrzymane równania noszą nazwę równań Poissona dla procesu adiabatycznego.
Wykładnik adiabaty
Proces, w którym ograniczenia są najbardziej liberalne, nosi nazwę procesu politropowego. W tym procesie pozostaje stałe jedynie ciepło właściwe C gazu, czyli C = dQ/dT = const. Procesy “izo” i proces adiabatyczny są szczególnymi przypadkami procesu politropowego.
Szukając związków między parametrami stanu w procesie politropowym posłużymy się także I. zasadą termodynamiki i równaniem stanu:
Pierwsze z tych równań podzielimy przez dT i skorzystamy z definicji ciepła właściwego C = dQ/dT, a drugie równanie zróżniczkujemy obustronnie pamiętając, że R = Cp – CV. Teraz oba równania możemy przedstawić w postaci:
Eliminujemy z tych równań dT i zdefiniujemy n = (C-Cp)/(C-CV), który nazywamy wykładnikiem politropy.
W rezultacie mamy jedno równanie
Dzieląc obie strony równania przez iloczyn PV, otrzymamy
Znowu zauważamy, że to równanie można zapisać jako
Teraz także: Ponieważ różniczka logarytmu jest zerem, to sam logarytm jest stały, ln pVn = const, a zatem stała jest też wartość logarytmowana, czyli
Także i tutaj możemy wykorzystać równanie stanu pV = RT i podstawić z niego wartość za p. Otrzymamy wtedy drugie równanie dla procesu politropowego:
Oba otrzymane równania noszą nazwę równań Poissona dla procesu politropowego.
Wykładnik politropy
Rzeczywiste układy termodynamiczne mogą wykonywać wiele rodzajów pracy. Może to być, na przykład, praca sił tarcia gazu przy przepływie, przenoszenie elementów układu przez przepływający płyn, czy praca prądu elektrycznego wytworzonego jako rezultat procesów elektrodowych.
Gaz idealny może wykonywać tylko jeden rodzaj pracy: pracę przy zmianie objętości:
Obliczając pracę w gazie idealnym przy przechodzeniu ze
stanu (p1, V1, T1) do stanu (p2, V2,
T2) postępujemy zawsze
jednakowo:
Rozpoczynamy od napisania równania ogólnego
Całkowanie na razie nie jest możliwe, ponieważ w ogólnym przypadku nie wiemy, jak zachowuje się ciśnienie p. Będziemy to wiedzieli, kiedy określimy jakiego rodzaju proces termodynamiczny występuje w przejściu między oboma stanami.
Praca w procesie izobarycznym, p = const
Rozpoczynamy od napisania równania ogólnego
Ciśnienie p jest tutaj stałe i możemy je wyprowadzić przed całkę. W rezultacie otrzymujemy
Praca w procesie izochorycznym, V = const
Rozpoczynamy od napisania równania ogólnego
Ponieważ V = const, to dV = 0 i całkowanie daje nam w wyniku zero. W tym procesie układ nie wykonana żadnej pracy
Praca w procesie izotermicznym, T = const
Rozpoczynamy od napisania równania ogólnego
W procesie izotermicznym pV = const, czyli np. pV = p1V1. A stąd
Tutaj uwzględniliśmy fakt, że p1V1 = RT
Praca w procesie adiabatycznym, Q = const
Rozpoczynamy od napisania równania ogólnego
W procesie adiabatycznym pVκ = const, czyli np. pVκ = p1V1κ. A stąd
czyli, po uproszczeniu
Praca w procesie politropowym, C = const
Rozpoczynamy od napisania równania ogólnego
W procesie politropowym pVn = const, czyli np. pVn = p1V1n. Związek między ciśnieniem i objętością jest tutaj analogiczny do obowiązującego w procesie adiabatycznym (inna nazwa wykładnika), zatem wyrażenie na pracę różni się też tylko wykładnikiem:
