Back to Index

NAKŁADANIE SIĘ FAL

Fale stojące. Interferencja. Dyfrakcja. Efekt Dopplera.

* Nakładanie się fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Powstawanie fal stojących.

* Interferencja fal

* Dyfrakcja (uginanie się) fal

* Dyfrakcja Fresnela – dyfrakcja fal kulistych

* Dyfrakcja Fraunhofera – dyfrakcja fal płaskich

* Siatki dyfrakcyjne

* Efekt Dopplera

Fale rozchodzące się wzdłuż pewnego kierunku lub w przestrzeni trójwymiarowej noszą nazwę fal bieżących. Bardzo ważny dla zastosowań technicznych jest odmienny rodzaj fal, w których wychylenie zmienia się tylko w czasie, ale nie w przestrzeni. Są to fale stojące powstające w wyniku superpozycji (nakładania się) fal biegnących w przeciwnych kierunkach. Wychylenie w fali stojącej ξ(x, t) jest opisywane równaniem:

w którym zależność od położenia i zależność od czasu są argumentami dwóch niezależnych funkcji trygonometrycznych, sin kx oraz cos ωt. Oznacza to, że w fali stojącej położenie węzłów i strzałek fali nie zmienia się w czasie jak pokazano na rysunku, w którym t₁, t₂, t₃, ... pokazują upływ czasu.

Równanie fali stojącej powstaje w wyniku prostego dodawania równań obu fal – jednej biegnącej w kierunku dodatnim osi x

oraz drugiej biegnącej w kierunku ujemnym osi x

Ich suma daje w rezultacie falę wypadkową

Stosując wzór otrzymujemy falę wypadkową w postaci właśnie fali stojącej

Fale stojące mogą tworzyć się także w obiektach wielowymiarowych, np. w membranach. Animacja przedstawia tworzenie się fal stojących w membranie i widać, że szerokość membrany jest całkowitą wielokrotnością połówek fali.

Powszechnie obecnie stosowane hologramy, które mogą być obserwowane w świetle naturalnym (nie laserowym), są oparte o tworzenie się fal stojących w wiązce światła.

Termin ‘interferencja’ odnosi się do każdej sytuacji, w której dwie lub więcej fal nakłada się w przestrzeni. W opisie zjawiska interferencji stosujemy zasadę superpozycji liniowej: Kiedy dwie lub więcej fal nakłada się na siebie, to wypadkowe wychylenie w każdym punkcie i w każdym momencie może być znalezione przez dodawanie wychyleń w tym punkcie wywoływanych przez poszczególne fale tak, jak gdyby każda z nich występowała tam oddzielnie.

Interferencja (nakładanie się) fal może prowadzić do ich dodawania się i wzmocnienia (interferencja konstruktywna) lub do odejmowania się i wzajemnego wygaszania (interferencja destruktywna). Kiedy nakładające się fale mają ten sam kierunek i długość fali λ oraz są zgodne w fazie wtedy występuje interferencja konstruktywna. Amplituda fali wypadkowej jest dwa razy większa niż amplituda A obu fal oddzielnie. Ponieważ natężenie fali I jest proporcjonalne do kwadratu jej amplitudy (I ~ A²) to natężenie fali wypadkowej jest czterokrotnie większe niż natężenie każdej z fal oddzielnie. Jeżeli obie spotykające się fale są przesunięte względem siebie o połówkę długości fali, czyli drgają w przeciwfazie to rezultatem ich nałożenia się będzie ich całkowite wygaszenie.

Dwie fale sinusoidalne spotykające się w pewnym punkcie mogą się wzmacniać lub wygaszać. Animacja poniżej ilustruje przebieg nakładania się fal o kształcie okręgów rozchodzących się od dwóch źródeł punktowych nieco oddalonych od siebie

Krzywe maksymalnej intensywności w obrazie interferencyjnym dwóch monochromatycznych źródeł punktowych są hiperbolami, których ogniska znajdują się w źródłach A i B.

Jeżeli dwie fale

oraz

są generowane przez dwie szczeliny, na które pada płaska fala pierwotna, jak na rysunku poniżej, to mówimy, że te fale są spójne ze sobą. Kiedy te fale interferują ze sobą to fala wypadkowa jest sumą obu tych fal

Falę wypadkową można zapisać w postaci

W otrzymanym wyrażeniu opisującym rezultat interferencji dwóch fal czynnik decyduje o stopniu wzmocnienia lub wygaszenia obu fal. Widać zatem, że o rezultacie spotkania tych fal decyduje różnica faz φ między nimi. Ta różnica faz ma proste odniesienie do różnicy dróg Δl, jakie obie fale przebywają od szczelin do miejsca spotkania. Jeżeli Δl jest całkowitą wielokrotnością długości fali, Δl = nλ, to różnica faz φ jest całkowitą wielokrotnością 2π, φ = n2π, n = 0, 1, 2, 3, … i obie fale się wzmocnią (interferencja konstruktywna). Jeżeli Δl jest nieparzystą wielokrotnością połówek długości fali, Δl = (2n + 1)λ/2, to różnica faz φ jest nieparzystą wielokrotnością π, φ = (2n + 1)π, n = 0, 1, 2, 3, … i obie fale spotkają się w przeciwfazie, czyli ulegną wygaszeniu (interferencja destruktywna).

Dwie poniższe animacje ilustrują przebieg nakładania się fal o kształcie okręgów rozchodzących się od dwóch oraz trzech źródeł punktowych stopniowo oddalających się od siebie.

Dyfrakcja (uginanie się) fal polega na opływaniu przeszkody jaką napotyka fala na swej drodze (krawędzi szczeliny, przez która przechodzi fala lub brzegów przesłony zatrzymującej falę). Pełny opis dyfrakcji w realnie występujących sytuacjach jest zagadnieniem bardzo złożonym i udaje się go przeprowadzić tylko dla wybranych przypadków i to tylko po przyjęciu pewnych założeń upraszczających.

Ścisły opis dyfrakcji może być otrzymany przez napisanie równań Maxwella i rozwiązanie ich przy warunkach brzegowych określonych przez charakter przeszkody dyfrakcyjnej. Jednak ta metoda jest zbyt trudna do zastosowania nawet w najprostszych przypadkach, ponieważ o charakterze dyfrakcji decydują też takie czynniki jak kształt przeszkody, geometria jej brzegu (ostry o charakterze noża czy klina, zaokrąglony jak powierzchnia walca itd.), rodzaj materiału z jakiego przeszkoda jest wykonana (np. dielektryk, metal) oraz takie czynniki jak współczynniki odbicia i pochłaniania (absorpcji) światła.

Oddzielnymi zagadnieniami są układy złożone z wielu szczelin (siatki dyfrakcyjne), układy symetrycznie wykonanych otworów, uporządkowane układy trójwymiarowe (np. kryształy) lub układy nieuporządkowane (koloidy i zawiesiny). Bardzo interesującymi materiałami – wytworzonymi sztucznie a także występującymi w naturze – są tzw. kryształy fotoniczne, mające unikalne własności wynikające ze skomplikowanego współdziałania zjawiska interferencji, dyfrakcji i załamania światła. Wszystkie wymienione zagadnienia są przedmiotem analizy w specjalistycznych podręcznikach i monografiach z zakresu optyki.

Stworzenie teorii dyfrakcji jest możliwe na gruncie zasady Huygensa, którą można sformułować następująco:

Każdy punkt frontu falowego może być rozważany (traktowany) jako źródło wtórnych małych fal kulistych rozchodzących się we wszystkich kierunkach z prędkością równą prędkości rozchodzenia się fali pierwotnej.

Wobec opisanych trudności w ścisłym opisie zjawisk dyfrakcji przyjęto stosować metody przybliżone dające wystarczająco poprawny opis jakościowy obserwowanych zjawisk. Kiedy zastosujemy zasadę Huygensa do fali rozchodzącej się z wąskiej szczeliny, na którą z drugiej strony pada pierwotna fala płaska, to widzimy, że po przejściu przez szczelinę płaski front falowy nie jest idealnie odtwarzany. Istotne zaburzenie wprowadzają „osamotnione” fale Huygensa generowane w obszarach znajdujących się blisko brzegów szczeliny. Właśnie istnienie tych fal brzegowych powoduje pojawianie się zjawisk dyfrakcji tak na szczelinie jak i na brzegach przesłony.

W analizie zjawiska dyfrakcji wyróżniamy dwa zasadnicze przypadki:

Dyfrakcja Fresnela - dyfrakcja fal kulistych.

Dyfrakcja Fraunhofera - dyfrakcja fal płaskich (ważny przypadek szczególny dyfrakcji Fresnela).

Dyfrakcja pojawia się dla każdego rodzaju fal, w tym i dla fal sprężystych, chociaż najłatwiej zaobserwować ją dla fal światła. Źródła tych fal są łatwo dostępne i najwygodniej nimi operować zmieniając w ten sposób warunki eksperymentu. Dyfrakcja Fresnela występuje wtedy, gdy punktowe źródło światła znajduje się blisko szczeliny lub przesłony. W tej sytuacji front falowy docierający do przeszkody ma wyraźnie kształt kulisty (jest blisko punktowego źródła).

Charakterystyczną cechą obrazu dyfrakcji Fresnela - zarówno dla szczeliny, jak i przesłony - jest rozmycie obszarów cienia (rozjaśnienia na brzegach cienia) i pojawienie się w obszarze oświetlonym szeregu ciemnych prążków. Jeżeli punktowe źródło światła oświetlające szczelinę jest od tej niej bardzo oddalone wtedy fala kulista docierająca do szczeliny przechodzi w falę płaską i wtedy dyfrakcja Fresnela przechodzi w dyfrakcję Fraunhoffera. Dyfrakcja typu Fraunhoffera będzie występowała zawsze w przypadku skolimowanej (równoległej) wiązki światła laserowego, niezależnie od odległości źródła od szczeliny.

Cechą charakterystyczną obrazu dyfrakcji Fraunhoffera na pojedynczej szczelinie jest pojawienie się silnego jasnego prążka centralnego, któremu towarzyszą dwa zbiory prążków pobocznych (wtórnych). Prążki poboczne są równoległe do centralnego i mają stopniowo coraz mniejsze natężenie, jak to pokazano w lewej części rysunku poniżej. Warunkiem zaobserwowania dyfrakcji Fraunhoffera jest skupienie obrazu szczeliny na ekranie za pomocą soczewki.

Należy teraz wyjaśnić powody, dla których pojawiają się minima dyfrakcyjne a jednocześnie przewidzieć jak zmienia się odległość kątowa między minimami wraz ze zmianą szerokości szczeliny. Posłużymy się schematem dyfrakcji Fraunhoffera na pojedynczej szczelinie.

Jeżeli różnica dróg dla dwóch skrajnych wiązek przedstawionych na schemacie powyżej wynosi , to okazuje się, że n-te minimum natężenia obserwuje się przy warunku Δl = nλ, n = 1, 2, 3,.... Sytuacja jest zatem odwrotna, niż w przypadku interferencji ale w przypadku interferencji były dwie szczeliny, a nie jedna jak tutaj i przestrzeń między skrajnymi wiązkami była zamknięta.

Jeżeli różnica dróg dla dwóch skrajnych wiązek pojedynczej szczeliny wynosi tylko λ, to po skupieniu obrazu na szczelinie otrzymamy prążek ciemny. Na pierwszy rzut oka ten wynik kłóci się z tym, co wiemy o interferencji. Trzeba jednak zauważyć, że oprócz wiązek skrajnych ze szczeliny wychodzą wiązki, które przeszły przez całą jej szerokość. Jeżeli podzielimy w myśli szerokość szczeliny na dowolną ale parzystą liczbę sektorów, to wszystkie te sektory możemy pogrupować parami tak, że wiązki z obu sektorów będą przesunięte o λ/2 i wzajemnie ulegną wygaszeniu. Stwierdziliśmy zatem, że w wyniku nakładania się i interferencji destruktywnej fal z obszarów przesuniętych o λ/2 ze szczeliny, od której pochodzi przesunięcie o λ, jak na rysunku, otrzymujemy po skupieniu na ekranie minimum dyfrakcyjne (ciemny prążek).

Analogiczną konstrukcję opartą na dzieleniu szczeliny na segmenty możemy zastosować do sytuacji, kiedy różnica dróg dla wiązek skrajnych jest dowolna całkowitą wielokrotności długości fali λ. Zwiększenie różnicy długości dróg obu skrajnych wiązek o λ/2 spowoduje powstania jasnego pola. Lewy rysunek ilustruje sytuację dla ciemnego prążka, a prawy - dla jasnego.

Na podstawie zależności między kątem odchylenia prążka ciemnego od szerokości szczeliny d, , możemy przewidzieć jak zmienia się obraz dyfrakcyjny kiedy będziemy zmieniać szerokość d. Dla dwóch szerokości szczelin d₁ i d₂ możemy napisać

skąd widać, że jeżeli zmniejszamy szerokość szczeliny d, wtedy musi wzrastać wartość kąta θ i zaobserwujemy na ekranie rozciąganie się obrazu dyfrakcyjnego.

Jeżeli na jednej płycie szklanej lub wykonanej z metalowego stopu zwierciadłowego wykonamy bardzo wiele wąskich szczelin położonych równolegle do siebie to otrzymamy przyrząd zwany siatką dyfrakcyjną. Służy ona do precyzyjnego wykrywania widma promieniowania, które na nią pada. Zwykle liczba szczelin w dobrej siatce dyfrakcyjnej jest rzędu kilkuset tysięcy i są one nacinane z gęstością rzędu 1000 szczelin na milimetr. Światło o długości fali λ, ugięte po przejściu przez szkło lub po odbiciu od powierzchni zwierciadlanej, tworzy jasne prążki (linie widmowe) zgodnie z równaniem

gdzie d jest odległością między środkami sąsiednich szczelin (stałą siatki), α jest kątem padania światła na siatkę (liczonym, jak zwykle, od normalnej do jej powierzchni) a θ jest kątem pod jakim pojawia się maksimum natężenia światła ugiętego. Symbol n jest nazywany rzędem linii widmowej. Schemat poniżej przedstawia powstawanie rodziny linii widmowych dla światła monochromatycznego (jednobarwnego), np. dla czerwonej wiązki lasera. Gdyby światło było mieszanką kilku barw, to każda z tych barw miałaby swoją rodzinę linii widmowych. Zwykle analizujemy (fotografujemy) widmo rzędu n = 1.

Kiedy światło przechodzące przez siatkę pada na nią prostopadle (α = 0) wtedy warunek pojawienia się maksimum dyfrakcyjnego upraszcza się do postaci

Pełny wzór musimy stosować w przypadku siatek odbiciowych, kiedy stosowanie wiązki padającej ukośnie jest koniecznością. Zaletą siatek odbiciowych jest możliwość ich stosowania w zakresie promieniowania ultrafioletowego

Wykonanie dużej, dobrej siatki do celów badawczych jest procesem ogromnie zaawansowanym. Już przygotowanie samego podłoża szklanego lub zwierciadlanego jest związane ze stosowaniem żmudnej procedury. Do nacinania rys stosuje się ostrza diamentowe prowadzone za pomocą bardzo precyzyjnej aparatury, która musi być w czasie wielu dni, kiedy wykonuje nacięcia, utrzymywana w pomieszczeniu wolnym od drgań i termostatyzowanym (w czasie, kiedy nacięcia są wykonywane operator może tylko zdalnie sterować tą aparaturą).

Każdy z nas ma jednak do dyspozycji przedmioty dobrze obrazujące pracę siatki dyfrakcyjnej. Jeżeli przez bardzo gęstą gładką tkaninę, np. przez płótno otwartego parasola (najlepiej czarnego) spojrzymy na oddaloną lampę uliczną to zobaczymy, że centralny obraz lampy znajduje się na skrzyżowaniu dwóch rodzin jasnych maksimów. Płótno parasola działa tutaj jak dwie nałożone na siebie siatki dyfrakcyjne a rolę soczewki skupiającej obraz prążków spełniają soczewki naszych oczu. Bardzo ładną siatką dyfrakcyjną typu odbiciowego jest powierzchnia każdej płyty CD, na której jest wyciśnięta bardzo drobna spirala ścieżki zapisu. Oba te modele siatek są jednak dalekie od doskonałości.

Przedstawiony tutaj opis zjawisk dyfrakcji jest bardzo pobieżny i tylko jakościowy i daleko odbiega od ścisłego opisu ilościowego. Ponadto, pominięto tutaj wiele ważnych zagadnień praktycznych jak wpływ zjawisk dyfrakcji na zdolność rozdzielczą przyrządów optycznych z grupy teleskopów i mikroskopów. Właśnie zjawiska dyfrakcji powodują, że zdolność rozdzielcza mikroskopu zwykle nie przewyższa długości fali światła użytego do oświetlenia preparatu.

Zjawiska dyfrakcji są zupełnie niezrozumiałe na gruncie optyki geometrycznej i stanowią koronny dowód świadczący o falowym charakterze światła.

Efektem Dopplera nazywamy pozorną zmianę częstotliwości, która jest odbierana przez obserwatora (ucho, mikrofon itd.) wtedy, gdy źródło fali i obserwator poruszają się względem siebie. Np. dźwięk syreny bardzo szybko zbliżającego się pociągu wydaje się nam dużo wyższy od tego, jaki słyszymy wtedy, gdy lokomotywa już się od nas oddala. W rzeczywistości częstotliwość dźwięku nie ulega – oczywiście - zmianie.

Aby opisać efekt Dopplera przyjmiemy jedno zupełnie oczywiste założenie, że prędkość dźwięku w powietrzu nie zależy ani od prędkości źródła dźwięku ani od prędkości obserwatora (ucha). Na początek opis efektu Dopplera podzielimy na dwa przypadki szczególne: kiedy porusza się źródło dźwięku (głośnik) a obserwator (ucho) pozostaje nieruchomy oraz kiedy porusza się obserwator a źródło dźwięku pozostaje nieruchome. Wprowadzimy następujące oznaczenia:

v_d – prędkość dźwięku w powietrzu,

v_z – prędkość źródła dźwięku (głośnika) względem obserwatora (ucha),

v_u – prędkość obserwatora (ucha) względem źródła dźwięku (głośnika),

T – okres drgań źródła,

f = 1/T i λ – częstotliwość i długość fali odbierane przez nieruchomego obserwatora przy nieruchomym źródle.

1. Ruchome źródło dźwięku (głośnik) przy nieruchomym obserwatorze (ucho).

Sytuacja jest przedstawiona na rysunku poniżej. Na rysunku (a) nieruchome są źródło i obserwator. Obserwator (ucho) odbiera wtedy falę o długości λ. Kiedy źródło oddala się od nieruchomego obserwatora z prędkością v_z, jak na rysunku (b), wtedy „ucieka” ono przed wyemitowanym poprzednio „garbem” fali co powoduje, że odległość między kolejnymi „garbami”, czyli nowa długość fali λ’, będzie większa niż była w spoczynku.

Fala zostaje wydłużona o odległość, jaką przebywa źródło w czasie między wysłaniem kolejnych „garbów” fali, czyli w czasie równym okresowi drgań T. Nowa długość fali będzie zatem wynosiła

Ponieważ okres drgań

to nowa długość fali wyniesie

Ponieważ poszukujemy przesunięć częstotliwości to wykorzystamy znane związki

oraz

Po podstawieniu otrzymujemy wzór na częstotliwość drgań odbieraną przez nieruchomego obserwatora, gdy źródło fali oddala się od niego.

W analogiczny sposób opisujemy sytuację, kiedy źródło dźwięku zbliża się do obserwatora, jak na rysunku (c). Pozorna długość fali wyniesie teraz

Dalej postępujemy jak w poprzedni przypadku. W rezultacie otrzymujemy wzór na częstotliwość drgań odbieraną przez nieruchomego obserwatora, gdy źródło fali zbliża się do niego.

2. Ruchomy obserwator (ucho) przy nieruchomym źródle dźwięku (głośniku).

Sytuacja jest przedstawiona na rysunku poniżej. Na rysunku (a) obserwator porusza się z prędkością v_u w kierunku nieruchomego źródła. Tym razem długość fali λ w powietrzu nie ulega zmianie.

Ruch obserwatora decyduje o liczbie frontów falowych („garbów”) przecinanych przez niego w jednostce czasu, czyli o odbieranej przez ucho częstotliwości f’. Mamy

oraz

gdzie

Po podstawieniu otrzymujemy wzór na częstotliwość drgań odbieraną przez obserwatora poruszającego się z prędkością v_u w kierunku przeciwnym do kierunku rozchodzenia się fali gdy źródło fali pozostaje nieruchome.

W analogiczny sposób opisujemy sytuację, kiedy obserwator oddala się od źródła dźwięku z prędkością v_u, jak na rysunku (b). Prędkość obserwatora względem fali wyniesie teraz

Dalej postępujemy jak w poprzedni przypadku. W rezultacie otrzymujemy wzór na częstotliwość drgań odbieraną przez obserwatora poruszającego się z prędkością v_u w kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia się fali gdy źródło fali pozostaje nieruchome.

Wszystkie cztery otrzymane równania można zapisać w postaci jednego uniwersalnego wzoru:

Właściwego doboru znaków można dokonać na podstawie wymagania, aby częstotliwość f’ rosła wtedy, kiedy źródło i obserwator zbliżają się do siebie (górne znaki) i malała, kiedy się oddalają (dolne znaki).

Efekt Dopplera występuje we wszystkich rodzajach fal, w tym w falach elektromagnetycznych. Efekt ten został zasugerowany przez austriackiego fizyka Ch. J. Dopplera (1803 – 1853) właśnie w celu wyjaśnienia zjawiska przesunięcia ku czerwieni widm promieniowania elektromagnetycznego (w tym i światła) gwiazd oddalających się szybko od nas. Radary kontroli lotów i radary kontroli drogowej (zwykłe „suszarki” i fotoradary) dokonują pomiarów prędkości poruszających się obiektów na podstawie dopplerowskiego przesunięcia częstotliwości fal elektromagnetycznych odbitych od tych obiektów i zarejestrowanych przez radar w stosunku do częstotliwości fal wysyłanych przez radar. Wzory opisujące przesunięcia częstotliwości promieniowania elektromagnetycznego różnią się wyraźnie od wzorów, jakie otrzymaliśmy dla fal dźwiękowych. Obiekt, od którego odbija się wiązka promieniowania radaru możemy traktować jako ruchome źródło promieniowania elektromagnetycznego rozchodzącego się z prędkością c. Przy poprawnej ocenie przesunięcia częstotliwości fali elektromagnetycznej powinniśmy zastosować szczególną teorię względności, zgodnie z którą otrzymamy dla przesunięcia ku czerwieni uciekającej gwiazdy

Przy przeciwnym kierunku ruchu gwiazdy prędkość v należy zastąpić przez „-v”. Rozwijając to wyrażenie w szereg potęgowy względem zmiennej v/c i ograniczając ten szereg do dwóch najwyższych wyrazów otrzymujemy wyrażenia na przesunięcie częstotliwości dla obiektów poruszających się z prędkościami dużo mniejszymi od prędkości światła. Ponieważ obiekt obserwowany przez radar porusza się z prędkością v o wiele mniejszą od c to otrzymane wzory są znacznie prostsze. Jeżeli ten obiekt zbliża się do odbiornika (detektora promieniowania) wtedy odbierana częstotliwość f’ będzie wyższa od wysyłanej f:

Jeżeli obiekt oddala się od odbiornika wtedy odbierana częstotliwość będzie niższa od wysyłanej

Back to Index