Back to Index

DRGANIA WYMUSZONE

Równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Rezonans.

* Równanie różniczkowe drgań wymuszonych

* Amplituda drgań wymuszonych. Rezonans

Do układu mogącego wykonywać drgania tłumione przykładamy siłę zewnętrzną zmieniającą się harmonicznie z częstotliwością kątową Ω, czyli siłę F_x = F₀ cos Ωt.

Należy zauważyć, że siłę przykładamy w sposób „miękki”, poprzez sprężynę tak, że układ może poddawać się w różny sposób wpływowi siły wymuszającej. W drganiach wymuszonych amplituda, a zatem i energia przenoszona do układu drgającego zależy od różnicy między częstotliwością Ω siły zewnętrznej a częstotliwością ω₀ drgań swobodnych układu jak również od wielkości tłumienia. Ponieważ siła zewnętrzna jest cosinusoidalna i jest być zadana przez równanie

to równanie drgań ma postać

albo

(1)

Równanie (1) jest niejednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Rozwiązanie ogólne tego równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i jakiegokolwiek rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest przypadkiem drgania tłumionego i ma znaną nam już postać

Szukamy teraz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Zastosujemy następujący chwyt: do prawej strony równania (1) dodajemy chwilowo człon if₀ sin(Ωt), stosujemy wzór Eulera i otrzymujemy prawą stronę w postaci wykładniczej, w rezultacie czego otrzymujemy

Poszukujemy rozwiązania szczególnego w postaci

Zatem

Podstawiamy te wyrażenia do (1) i otrzymujemy

Rozwiązanie zostanie otrzymane, jeżeli znajdziemy amplitudę zespoloną , którą wyrazimy z powyższego równania

Mianownik tego wyrażenia możemy zapisać jako

Zatem amplituda ma postać

Wracamy teraz do części rzeczywistej (zwracamy pożyczoną część urojoną) i otrzymujemy ostateczną postać rozwiązania szczególnego

lub po prostu

Poszukiwanym rozwiązaniem ogólnym równania (1) jest zatem

Lewy człon sumy ma znaczenie jedynie w początkowej fazie ruchu dlatego że czynnik e^-βt powoduje zanik tego członu z upływem czasu.

Na wykresie poniżej przedstawiono drgania gasnące układu, w którym nie będzie występowała siła wymuszająca (kolor czarny), drgania wymuszające (kolor zielony) i drgania wymuszone układu (kolor czerwony). Zgodnie z rozwiązaniem przedstawionym wyżej, drgania wymuszone, po początkowym chaotycznym okresie drgań nieustalonych, będą odbywały się w takt „miękkiej” siły wymuszającej.

Z rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego widzimy, że amplituda drgań wymuszonych - po ustaleniu się tych drgań - zależy od częstotliwości drgań wymuszających Ω i od współczynnika tłumienia β:

Przy pewnych wartościach częstotliwości drgań wymuszających Ω wzrost amplitudy drgań jest szczególnie duży i zjawisko to nazywamy rezonansem. Rezonans ma często kluczowe znaczenie w wielu dziedzinach nauki i techniki. Może on być zjawiskiem bardzo pożytecznym, jak w brzmieniu instrumentów muzycznych czy w magnetycznym rezonansie jądrowym, stosowanym także w medycynie. Może też prowadzić do katastrofalnych następstw, kiedy wystąpi w konstrukcjach budowlanych czy w samolotach. Znajdowanie amplitudy rezonansowej jest zwykłym poszukiwaniem maksimum funkcji, czyli przyrównanie do zera pochodnej. Ponieważ amplituda jest funkcją Ω typu

to pochodnej poszukujemy wg reguły

Otrzymujemy

czyli

Pierwiastkami tego równania są

oraz

Ponieważ ujemna częstotliwość nie ma sensu, wybieramy jako częstotliwość rezonansową wartość

Uwaga: Porównaj z częstotliwością drgań tłumionych

Po podstawieniu częstotliwości rezonansowej Ω_rez w miejsce Ω w równaniu na amplitudę drgań wymuszonych

otrzymujemy wyrażenie na amplitudę rezonansową:

czyli

Dla wartości β małych w porównaniu z ω₀ amplituda rezonansowa jest

Dla 2β² > ω₀² częstotliwość rezonansowa jest urojona.

Zjawisko rezonansu jest zobrazowane w animacji poniżej. Jeżeli układ, który bez wymuszenia wykonywałby zwykłe drgania gasnące (zielony przebieg) zostanie poddany sile wymuszającej o zmieniającej się częstotliwości (niebieski przebieg) to w miarę zbliżania się do częstotliwości rezonansowej odpowiedź układu (czerwony przebieg) gwałtownie wzrasta.

Kształt krzywej rezonansowej, czyli zależności amplitudy A od częstotliwości wymuszającej Ω, jest przedstawiony na animacji poniżej. Aktualna wartość Ω jest zaznaczona na krzywej rezonansowej przez poruszające się kółeczko.

Wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia β gwałtownie spada wartość amplitudy rezonansowej a jednocześnie zmniejsza się wartość częstotliwości rezonansowej Ω_rez.

Back to Index