Proponowane tematy prac magisterskich dla studentów Wydziału Fizyki.

Termin realizacji: r. ak. 2006/2007.

Temat: Badanie rezonansu stochastycznego metodą rozkładu sygnałów czasowych na mody empiryczne.

Opis pracy:

Metoda rozkładu sygnału na mody empiryczne [N.E. Huang et al., Proc. R. Soc. London A454, 903 (1998)] pozwala na dokonanie dekompozycji dowolnego sygnału chaotycznego na skończoną ilość modów, stanowiących poprawnie określone oscylacje (o średniej zero i dobrze zdefiniowanej fazie oraz chwilowej i średniej częstości). Ta stosunkowo nowa metoda używana jest coraz częściej do analizy sygnałów empirycznych, obok rozkładu na mody Fourierowskie, falki itp.

W proponowanej pracy magisterskiej przewiduje się zastosowanie metody rozkładu na mody empiryczne do badania rezonansu stochastycznego. Rezonans stochastyczny jest zjawiskiem, występującym m.in. w układach bistabilnych, poddanych działaniu szumu stochastycznego i słabego sygnału periodycznego. W określonych warunkach wzrost natężenia szumu może, paradoksalnie, prowadzić do większego uporządkowania (większego stopnia periodyczności) sygnału wyjściowego. W widmie mocy sygnału wyjściowego występuje wówczas pik na częstości wejściowego sygnału periodycznego, osiągający maksymalną wysokość przy niezerowym natężeniu szumu wejściowego. Podobne zjawisko obserwuje się przy zmianach parametru kontrolnego w układach chaotycznych z "bistabilnymi" atraktorami (układ Lorenza, Chua, układy chaotyczne po kryzysie połączenia atraktorów, itp.), pobudzanych słabym sygnałem okresowym. Zjawisko to nosi nazwę bezszumowego rezonansu stochastycznego lub rezonansu chaotycznego.

Pokrewnym zjawiskiem jest (bezszumowy) aperiodyczny rezonans stochastyczny, z tym że zamiast sygnałem periodycznym układ pobudzany jest dowolnym słabym sygnałem (np. chaotycznym). W tym przypadku obserwuje się zwykle maksimum korelacji między sygnałem wyjściowym i wejściowym w funkcji natężenia szumu lub parametru kontrolnego. Jednak nawet duża wartość funkcji korelacji nie gwarantuje, że po przejściu przez zaszumiony lub chaotyczny układ bistabilny sygnał wejściowy nie ulegnie znacznemu zniekształceniu w pewnym przedziale częstości. Badanie widma mocy sygnału wyjściowego nie pozwala na rozstrzygnięcie tej kwestii, ponieważ zarówno wejściowy sygnał aperiodyczny, jak i sygnał wyjściowy mają skomplikowane widmo mocy, zwykle bez wyraźnie wybijających się częstości charakterystycznych. Wydaje się natomiast, że na pytanie o jakość transmisji oscylacji o różnych skalach czasowych, składających się na wejściowy sygnał aperiodyczny, można odpowiedzieć, porównując amplitudy i średnie częstości modów empirycznych, otrzymanych z rozkładu sygnału wejściowego i wyjściowego z układu bistabilnego, wykazującego aperiodyczny rezonans stochastyczny. W układach takich można spodziewać się maksymalizacji amplitud modów sygnału wyjściowego, odpowiadających modom sygnału wejściowego, przy niezerowym natężeniu szumu.

Celem uniknięcia problemów związanych z rozkładem na mody empiryczne sygnałów stochastycznych (w literaturze przedmiotu istnieje niewiele prac na ten temat), w pierwszym etapie proponowanej pracy magisterskiej przewiduje się badanie bezszumowego rezonansu stochastycznego i bezszumowego aperiodycznego rezonansu stochastycznego w układach chaotycznych metodą rozkładu sygnału wejściowego i wyjściowego na mody empiryczne. Sygnałem wejściowym byłby zadany przebieg chaotyczny, wyjściowym zaś – odpowiednio dobrane zmienne układu chaotycznego. Pozwoli to zbadać występowanie rezonansu stochastycznego dla poszczególnych modów empirycznych sygnału wejściowego. W kolejnym etapie przewiduje się zbadanie wpływu dyskretyzacji sygnału wyjściowego, tak aby odzwierciedlał on jedynie położenie trajektorii fazowej w jednym z dwóch dopuszczalnych stanów chaotycznego układu bistabilnego, na wynik badania bezszumowego rezonansu stochastycznego (w tym aperiodycznego) metodą rozkładu na mody empiryczne. Dyskretyzacja sygnału wyjściowego jest stosowana standardowo w analizie rezonansu stochastycznego, lecz zagadnienia rozkładu sygnałów dyskretnych na mody empiryczne dotychczas nie badano. W zależności od wyników, uzyskanych przy badaniu bezszumowego rezonansu stochastycznego, w ostatnim etapie planuje się ewentualnie zbadanie metodą rozkładu na mody empiryczne aperiodycznego rezonansu stochastycznego w układzie bistabilnym z szumem i z dyskretnym sygnałem wyjściowym.

Umiejętności konieczne do wykonania pracy obejmują znajomość zagadnień analizy numerycznej (rozwiązywanie numeryczne deterministycznych i, ewentualnie, stochastycznych układów nieliniowych równań różniczkowych, interpolacja, analiza Fourierowska) i programowania.

praca będzie miała charakter: teoretyczny

przewiduje się publikację związaną z wykonaną pracą dyplomową: tak.

Temat: Kontrola rezonansu stochastycznego w układach przestrzennie rozciągłych metodą opóźnień czasowych..

Opis pracy:

Rezonans stochastyczny jest zjawiskiem, występującym w pewnych układach nieliniowych (np. bistabilnych, progowych), poddanych działaniu szumu stochastycznego i słabego sygnału periodycznego. W określonych warunkach wzrost natężenia szumu może, paradoksalnie, prowadzić do większego uporządkowania (większego stopnia periodyczności) odpowiednio zdefiniowanego sygnału wyjściowego. W widmie mocy tego sygnału występuje wówczas pik na częstości wejściowego sygnału periodycznego, osiągający maksymalną wysokość przy niezerowym natężeniu szumu wejściowego. W funkcji szumu maksymalizowany jest również wyjściowy stosunek sygnału do szumu (iloraz wysokości piku na częstości wejściowego sygnału periodycznego przez wysokość tła szumowego w widmie mocy sygnału wyjściowego). Doświadczalnie wykazano m.in. istotną rolę rezonansu stochastycznego przy wykrywaniu sygnałów periodycznych, ukrytych w tle szumowym, przez neurony biologiczne.

W układach przestrzennie rozciągłych, np. łańcuchach sprzężonych elementów nieliniowych, pobudzanych sygnałem jednorodnym przestrzennie i okresowym w czasie oraz szumem nieskorelowanym w czasie i przestrzeni, obserwuje się wzmocnienie rezonansu stochastycznego przez sprzężenie. O ile oddziaływanie między elementami (np. progowymi, bistabilnymi) preferuje ustawienie sąsiednich elementów w jednakowych stanach, maksymalny wyjściowy stosunek sygnału do szumu w każdym z elementów przy optymalnie dobranej wartości sprzężenia jest większy niż przy braku sprzężenia. Podobne zjawisko można zaobserwować w przypadku sygnałów periodycznych w czasie i przestrzeni, z tym że wzmocnienie jest wówczas zwykle mniejsze niż dla sygnałów jednorodnych w przestrzeni.

Dla sygnałów periodycznych w czasie i przestrzeni można uzyskać wzmocnienie rezonansu stochastycznego porównywalne z tym dla sygnałów jednorodnych przestrzennie, o ile w sprzężeniu między sąsiadującymi elementami wprowadzi się dodatkowy parametr w postaci opóźnienia czasowego [A. Krawiecki and T. Stemler, Phys. Rev. E68, 061101 (2003)]. Odpowiednio dobrane opóźnienie niweluje wpływ przesunięcia fazowego sygnału wejściowego w sąsiadujących elementach. Zjawisko to, mogące mieć znaczenie np. w układach neuronów biologicznych i elektrycznych liniach przesyłowych, zbadano szczegółowo jedynie w przypadku dwóch sprzężonych elementów progowych z dynamiką dyskretną. Stanowi ono przykład tzw. kontroli rezonansu stochastycznego.

Przedmiotem proponowanej pracy dyplomowej jest zbadanie kontroli rezonansu stochastycznego z użyciem opóźnień czasowych w sprzężeniu między oddziałującymi elementami w jednowymiarowych, przestrzennie rozciągłych układach z dynamiką dyskretną, pobudzanych sygnałami periodycznymi w czasie i przestrzeni i szumem stochastycznym. Przykładami takich układów mogą być łańcuchy elementów progowych (formalnych neuronów) lub jednowymiarowych odwzorowań bistabilnych. Oprócz wyznaczenia optymalnych opóźnień w zależności od parametrów sygnału wejściowego, szumu i sprzężenia planowane jest zbadanie kontroli w szerokim zakresie opóźnień i sprzężeń (np. przy opóźnieniach i sprzężeniach o rozkładzie Gaussowskim, itp.). Celem tych badań będzie stwierdzenie, w jakim stopniu układy (np. biologiczne sieci neuronowe) pobudzane sygnałami o różnych częstościach i długościach fal i szumem mogą korzystać z opóźnień czasowych (np. przy transmisji potencjałów w połączeniach synaptycznych) w celu lepszego wykrywania sygnałów w oparciu o rezonans stochastyczny.

Umiejętności konieczne do wykonania pracy obejmują znajomość zagadnień analizy numerycznej (symulacje procesów stochastycznych z czasem dyskretnym, analiza Fourierowska), programowania i wybranych metod analitycznych z zakresu teorii procesów stochastycznych.

praca będzie miała charakter: teoretyczny

przewiduje się publikację związaną z wykonaną pracą dyplomową: tak.